PENERAPAN KALKULUS INTEGRAL

BAB 21

PENERAPAN KALKULUS INTEGRAL

21.1. PENDAHULUAN

Penerapan Kalkulus Integral membahas menganai penerapan dalam bidang ekonimi dan bisnis, terutama untuk menentukan atau mencarai kambali fungsi total apalagi fungsi marginalnya telah diketahui. Fungsi total ini dapat berupa fungsi biaya total, fungsi penerimaan total, fungsi produksi total, fungsi utulitas total, fungsi konsumsi dan tabungan, fungsi inventasi, dan lain sebagainya, semua fungsi ini dapat diperolah dengan menggunakan konsep integral tak tentu (infinite inegral).

Selaian itu, Kalkulus integral dapat diterapkan lagi pada bidang ekonomi lainnnya yakni untuk menentukan besarnya surplus/kelebihan konsumen (consumer’s surplus) atau surplus/kelebihan produsen (producer’s surplus). Hal ini terutama apabila fungsi permintaan atau fungsi penewarannya berbentuk nonlinier (misalnya parabola atau hiperbola).

21. 2. FUNGSI BIAYA TOTAL

            Bahwa fungsi biaya (MC) adalah derivatif dari fungsi total (TC). Oleh karena itu memperoleh fungsi biaya total TC = ƒ(Q), kita harus mengintegralkan fungsi biaya merginalnya. Dengan kata lain, fungsi biaya total (TC) adalah antiderivatif atau integral dari fungsi biaya marginal. Jadi jika  MC = ƒ(Q), maka fungsi biaya total adalah :

Diamana nilai konstanta K merupakan biaya tetap atau biaya overhead, nilai konstanta K ini dapat ditentukan bila kita menetapkan nilai Q = 0.

Setelah fungsi biaya total diperoleh, tentunya dengan mudah dapat diperoleh fungsi biaya rata-ratanya. Rumus fungsi biaya rata-rata adalah fungsi biaya total debagai dengan jumlah barang/jasa yang dihasilkan (Q). Jadi :

21.3. FUNGSI PENERIMAAN TOTAL

            Serupa dengan fungsi biaya total, jika fungsi penerimaan merginal (MR) adalah derivatif pertama dari fungsi penerimaan total (TR), maka fungsi penerimaantotal dapat di peroleh dengan mengintegralkan fungsi penerimaan merginal, jadi

 

Diamana konstanta K harus bernilai nol. Hal ini dikarenakan bahwa dalam teori ekonomi nilai dari penerimaan total (TR) adalah nol bilamana belum ada produk yang terjual. Dengan kata lain, TR = 0 jika Q = 0. Jadi nilai konstanta K dalam fungsi penerimaan total selalau bernilai nol, sehingga fungsi penerimaan total yang lengkap tidak mengandung konstanta K. Selanjutnya fungsi penerimaan rata-rata (AR) dapat di hitung dengan membagikan fungsi penerimaan total dengan jumlah barang/jasa yang terjual (Q) jadi,

 

21.4. FUNGSI PRODUKSI TOTAL

            Jika fungsi produksi marginal MP = ƒ (X) di ketahui maka fungsi produksi total TP dapat diperoleh dengan jalan mengintegralkan fungsi produksi marginal yaitu :

Dalam fungsi produksi total konstanta K = 0, karena tidak akan output/produk yang dihasilkan apabila tidak ada input (faktor produksi) yang digunakan.

21.5. FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN

             Fungsi konsumsi dan fungsi tabungan dapat diperoleh dengan cara mengintegralkan baik MPC maupun MPS. Untuk fungsi konsumsi adalah

 

Diaman konstanta K adalah konsumsi minimum jika pendapatan = 0 sedangkan fungsi tabungan adalah                                                       

dengan konstanta K adalah tabungan negatif (dissaving) jika pendapatan = 0, sehingga nilai K ini adalah negatif.

21.6. INVESTASI DAN PEMBENTUKAN MODAL

            Proses penambahan terhadap persediaan modal yang ada disebut sebagai pembentukan modal. Jika proses ini dipandang berkesinambungan sepenjang waktu, maka persedian modal dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi dari waktu K(t), dan tingkat pembentukan modal (rate of capital formation ) sekarang dapat dinyatakan dengan = K’(t). Tingkat pembentukan modal pada waktu t sama dengan tingkat aliran investasi neto (rate of nate invesment flow) pada waktu t, dan dinyatakan dengan I(t), atau = I(t) dengan demikian, untuk mendapatkan fungsi persediaan modal K adalah integral terhadap waktu t dari investasi neto I, yaitu :

                                                            

Diaman K = modal saham awal K.

Untuk mendapatkan fungsi persediaan modal khusu kita harus menetapkan terlebih dahulu suatu kondisi awal. Misalnya jika modal pada waktu t = 0 adalah sejumlah tertentu K(0), maka kondisi ini dapat digunakan untuk menilai konstanta integrasi k.

21.7. KELEBIHAN KONSUMEN

            Suatu fungsi permintaan menunjukan hubungan antara jumlah produk yang diminta oleh konsumen dengan berbagai harga tertentu. Jika harga pasar produk tersebut adalah P_e , maka jumlah produk yang akan di beli oleh konsumen adalah Q_e, tetapi berdasarkan kurva permintaan yang ada, maka menurut para ahli ekonomi bahwa konsumen masih bersedia dan mampu untuk membayar produk tersebut dengan harga yang lebih tinggi dari pada harpa P_e sampai pada titik B. Namun dalam kenyataannya tingkat harga yang terjadi di pasar hanyalah setinggi 0P_e . Dengan demikian surplus harga tersebut (P_e B) adalah keuntungan total bagi konsumen  dan ini disebut sebagai surplus/kelebihan konsumen (consumer’s surplus).

Besarnya kelebihan konsumen ini dapat diperoleh dengan cara mengintegralkan fungsi permintaan dengan menggunakan metode integral tertentu. Jika fungsi permintaan berbentuk P = ƒ(Q), maka kelebihan konsumen adalah

                                                                                                              

Diamana: KK = Kelebihan Konsumen

                 Q_e  = Jumlah Keseimbangan

                  P_e  = Harga Keseimbangan

Sedangkan apabila fungsi permintaan berbentuk Q = ƒ(P), maka surplus konsumen adalah,

2.1.8. SURPLUS PRODUSEN

            Suatu fungsi penawaran menujukan hubugan anatara jumlah produk yang ditawarkan oleh produsen dengan